Matemática : ciência e aplicações : ensino médio, volume 1
Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida, 2016Capítulo 1 — Noções de conjuntos
Introdução .......................................................................................................... 7
Igualdade de conjuntos ....................................................................... 7
Subconjuntos – relação de inclusão ...................................... 9
Propriedades da relação de inclusão ........................................ 9
Interseção e reunião............................................................................. 11
Propriedades da relação e da reunião .................................. 14
Diferença ........................................................................................................... 15
Capítulo 2 — Conjuntos numéricos
Introdução ....................................................................................................... 18
O conjunto F ................................................................................................ 18
O conjunto J ................................................................................................. 19
Números inteiros opostos ............................................................... 20
Módulo de um número inteiro .................................................. 20
Interpretação geométrica ............................................................... 20
Troque ideias – Investigação e argumentação
em Matemática .......................................................................................... 22
O conjunto G ................................................................................................ 23
Representação decimal das frações ........................................ 23
Representação fracionária das dízimas periódicas .... 25
Representação geométrica do conjunto
dos números racionais ...................................................................... 25
Oposto, módulo e inverso de
um número racional ............................................................................ 26
O conjunto K ................................................................................................... 27
O conjunto H dos números reais............................................ 28
Representação geométrica do conjunto
dos números reais ................................................................................. 29
Intervalos reais ......................................................................................... 31
Um pouco de História – O número de ouro ............... 33
Razão, proporção e porcentagem ........................................ 34
Razão ............................................................................................................... 34
Proporção ..................................................................................................... 34
Porcentagem .............................................................................................. 35
Troque ideias – Matemática e
Geografia: Escalas ................................................................................... 38
Capítulo 3 — Funções
A noção intuitiva de função .........................................................................39
A noção de função como relação entre conjuntos .......42
Notação ......................................................................................................... 43
Funções definidas por fórmulas ............................................................44
Domínio e contradomínio.................................................................................47
Determinação do domínio ............................................................. 47
Conjunto imagem.................................................................................. 48
Um pouco de História – O desenvolvimento
do conceito de função ............................................................................................49
Leitura informal de gráficos .........................................................................50
O plano cartesiano .........................................................................................................53
Representação de pontos em uma reta .............................. 53
Representação de pontos em um plano ............................ 54
Construção de gráficos ..........................................................................................55
Análise de gráficos .........................................................................................................59
Conceitos..........................................................................................................................................60
O sinal da função................................................................................... 60
Crescimento/decrescimento .......................................................... 61
Máximos/mínimos ................................................................................. 61
Simetrias ........................................................................................................ 61
Taxa média de variação de uma função .................................64
Aplicações – A velocidade escalar média e
a aceleração escalar média .............................................................................69
Capítulo 4 — Função afim
Introdução ....................................................................................................... 70
Função linear ................................................................................................ 71
Gráfico ............................................................................................................ 72
Função constante .................................................................................... 74
Grandezas diretamente proporcionais ............................ 77
Raiz de uma equação do 1o grau ........................................... 79
Taxa média de variação da função afim ........................ 81
Aplicações – Movimento uniforme
e movimento uniformemente variado ............................... 83
Função afim crescente e decrescente ............................... 84
O coeficiente angular ......................................................................... 84
O coeficiente linear .............................................................................. 86
Sinal ....................................................................................................................... 86
Inequações ...................................................................................................... 88
Troque ideias – Funções custo, receita e lucro ....... 91
Um pouco mais sobre: Grandezas
inversamente proporcionais ....................................................... 92
Capítulo 5 — Função quadrática
Introdução ....................................................................................................... 94
Gráfico ................................................................................................................. 95
Raízes de uma equação do 2o grau ..................................... 97
Quantidade de raízes.......................................................................... 98
Soma e produto das raízes ......................................................... 100
Forma fatorada ..................................................................................... 101
Coordenadas do vértice da parábola ............................. 102
O conjunto imagem ........................................................................... 104
Troque ideias – A receita máxima ....................................... 105
Esboço da parábola ........................................................................... 106
Sinal .................................................................................................................... 109
D . 0 ............................................................................................................ 109
D 5 0 ............................................................................................................ 110
D , 0 ............................................................................................................ 110
Inequações ................................................................................................... 111
Um pouco mais sobre: Eixo
de simetria da parábola ................................................................ 114
Capítulo 6 — Função definida por
várias sentenças
Função definida por mais de uma sentença .......... 115
Gráfico .............................................................................................................. 118
Módulo de um número real ...................................................... 120
Interpretação geométrica ............................................................ 120
Propriedades ........................................................................................... 121
Função modular ..................................................................................... 122
Gráfico ......................................................................................................... 122
Outros gráficos ..................................................................................... 123
Equações modulares ......................................................................... 124
Inequações modulares .................................................................... 126
Capítulo 7 — Função exponencial
Introdução .................................................................................................... 127
Potência de expoente natural ................................................ 128
Propriedades ........................................................................................... 129
Potência de expoente inteiro negativo ........................ 129
Propriedades ........................................................................................... 130
Troque ideias – Notação científica .................................... 131
Raiz n-ésima (enésima) aritmética .................................... 132
Propriedades ........................................................................................... 132
Potência de expoente racional .............................................. 133
Propriedades ........................................................................................... 134
Sumário
Sumário
6 Sum‡rio
Potência de expoente irracional .......................................... 135
Potência de expoente real .......................................................... 136
Função exponencial ........................................................................... 136
Gráfico ......................................................................................................... 136
O número e ............................................................................................. 137
Propriedades ........................................................................................... 138
Gráficos com translação ............................................................... 140
Aplicações – Mundo do trabalho e as
curvas de aprendizagem .............................................................. 142
Equação exponencial ........................................................................ 143
Troque ideias – Os medicamentos
e a Matemática ....................................................................................... 145
Aplicações – Meia-vida e radioatividade .................... 146
Capítulo 8 — Função logarítmica
Introdução .................................................................................................... 148
Logaritmos ................................................................................................... 149
Convenção importante ................................................................... 150
Consequências....................................................................................... 150
Um pouco de História – A invenção
dos logaritmos......................................................................................... 152
Sistemas de logaritmos ................................................................. 153
Propriedades operatórias ............................................................ 154
Logaritmo do produto .................................................................... 154
Logaritmo do quociente ............................................................... 154
Logaritmo da potência ................................................................... 155
Mudança de base ................................................................................. 158
Propriedade ............................................................................................. 158
Aplicação importante ...................................................................... 159
Função logarítmica ............................................................................. 160
Gráfico da função logarítmica ................................................. 160
Função exponencial e função logarítmica ..................... 161
Propriedades do gráfico da função logarítmica........ 163
Aplicações – Os terremotos e os logaritmos.......... 165
Equações exponenciais .................................................................. 167
Aplicações – Os sons, a audição
humana e a escala logarítmica ............................................. 169
Capítulo 9 — Progressões
Sequências numéricas ................................................................... 171
Formação dos elementos de uma sequência .............. 172
Progressões aritméticas ............................................................... 174
Troque ideias – Observação de regularidades ...... 174
Classificação ............................................................................................ 175
Termo geral da P.A. ........................................................................... 175
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. .................. 178
Progressão aritmética e função afim .................................. 181
Progressões geométricas ........................................................... 182
Troque ideias – A propagação de uma notícia .... 182
Classificação ............................................................................................ 183
Termo geral da P.G. ........................................................................... 183
Soma dos n primeiros termos de uma P.G. .................. 186
Soma dos termos de uma P.G. infinita ............................. 188
Progressão geométrica e função exponencial ............ 191
Um pouco de História – A sequência de Fibonacci .. 192
Capítulo 10 — Semelhança e triângulos
retângulos
Semelhança ................................................................................................. 194
Semelhança de triângulos .......................................................... 197
Razão de semelhança ...................................................................... 198
Teorema de Tales ................................................................................. 199
Teorema fundamental da semelhança .............................. 200
Critérios de semelhança ................................................................ 201
AA (ângulo – ângulo) ...................................................................... 201
LAL (lado – ângulo – lado) .......................................................... 202
LLL (lado – lado – lado) ................................................................. 203
Consequências da semelhança de triângulos ....... 206
Primeira consequência .................................................................... 206
Segunda consequência .................................................................. 207
Terceira consequência ..................................................................... 207
O triângulo retângulo ..................................................................... 208
Semelhanças no triângulo retângulo ................................. 208
Relações métricas................................................................................ 209
Aplicações notáveis do teorema de Pitágoras ............ 210
Um pouco de História – Pitágoras de Samos ........ 211
Capítulo 11 — Trigonometria no triângulo
retângulo
Um pouco de História – A trigonometria ................... 214
Razões trigonométricas ................................................................. 215
Acessibilidade e inclinação de uma rampa ................... 215
Tangente de um ângulo agudo............................................... 216
Tabela de razões trigonométricas ......................................... 217
Seno e cosseno de um ângulo agudo ............................... 218
Ângulos notáveis .................................................................................. 224
Troque ideias – Relações entre as
razões trigonométricas .................................................................. 227
Capítulo 12 — Áreas de figuras planas
Introdução .................................................................................................... 228
Área do retângulo................................................................................ 229
Área do quadrado ................................................................................ 230
Área do paralelogramo .................................................................. 232
Área do triângulo ................................................................................. 234
Casos particulares ............................................................................... 235
Área do losango ..................................................................................... 237
Área do trapézio .................................................................................... 240
Um pouco de História – Como obter a área de
um triângulo isósceles a partir de um retângulo? ... 241
Área de um polígono regular.................................................. 242
Área do círculo e suas partes .................................................. 244
Área do círculo ...................................................................................... 244
Área do setor circular ...................................................................... 246
Área da coroa circular ..................................................................... 247
Área do segmento circular .......................................................... 248
Capítulo 13 — Estatística básica
Entenda o papel da Estatística .............................................. 250
Pesquisas estatísticas ....................................................................... 252
Etapas da pesquisa estatística ............................................... 253
Amostragem ........................................................................................... 253
Variável ............................................................................................................ 254
Tabelas de frequência ...................................................................... 255
Aplicações – Matemática,
informática e trabalho.................................................................... 260
Representações gráficas ............................................................... 262
Gráfico de barras ................................................................................ 262
Histograma ............................................................................................... 263
Gráfico de setores .............................................................................. 264
Gráfico de linhas ................................................................................. 265
Pictograma ............................................................................................... 265
Aplicações – Os censos demográficos ........................... 271
Tabela trigonométrica ..................................................................... 272
Respostas ....................................................................................................... 273
Índice remissivo ...................................................................................... 287
Sugestões para os estudantes ............................................... 288
Referências bibliográficas ........................................................... 288